Máximo común divisor
El máximo común divisor (m. c. d.) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de esos números.
Consideremos el siguiente problema:
Dos máquinas realizan ciclos de mantenimiento cada 60 días y cada 80 días. ¿Cuándo realizarán su mantenimiento el mismo día?
Hallamos los divisores de 60 y 80
D (60)= {1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60}
D (80)= {1, 2, 4, 5, 8, 10,16, 20, 40, 80}
Se reconocen los divisores comunes de 60 y 80
D (60) ∩ D (80) = {1, 2, 3, 4, 5,10, 20}
Determinamos cuál de esos divisores comunes es el mayor. El divisor común mayor es el máximo común divisor (m.c.d.). En este caso: m. c. d. (60 y 80) = 20.
Luego, la respuesta al problema planteado será que realizarán el mantenimiento simultáneamente cada 20 días.
Lea más: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
Se ha visto ya que todo número natural tiene una infinidad de múltiplos y de todos ellos, el mínimo múltiplo distinto de cero es el mismo número.
Determinar el m. c. m. de 40 y 30
-Listamos los múltiplos de 30 y 40 (distintos de 0)
M (40)= {40, 80,120,160, 200, 240, 280, 320, 360…}
M (30)= {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330, 360…}
-Determinamos los múltiplos comunes {120, 240, 360…}
-De ellos elegimos el menor, en nuestro caso, 120.
Por tanto, el m. c. m. (30, 40) = 120.
Procedimiento simplificado para determinar el m. c. d. y m. c. m. de dos o más números:
-Se descompone cada número en producto de factores primos. En nuestro caso 60 y 80.
m. c. d. (60, 80) = 2²x5 = 20
m. c. m. (60,80) = 2⁴x3x5=240
-El producto de los factores comunes elevados al menor exponente es el m. c. d. de los números dados.
-El producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente es el m. c. m. de los números dados.
1. Halla el m. c. d. y m. c. m. de los siguientes números:
a- 120, 150
b- 25, 36
c- 8, 32
d- 8 y 12
2. Un agricultor va a la ciudad cada 18 días y otro va cada 15 días. Hoy han coincidido en la ciudad los dos agricultores. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a coincidir?
Fuentes: MEC. 2014. Programas de estudios. Matemática 2.° ciclo, CATTANEO, L., LAGRECA, N., GONZÁLEZ, M. I.,
BUSCHIAZZO, N., et al. (2011). Didáctica de la matemática: enseñar matemática. Rosario: Homo Sapiens Ediciones.